A. Tính chất luỹ thừa bậc hai:
Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dấu của một số có luỹ thừa chẵn nắm được tính chất của luỹ thừa bậc hai
“Bình phương hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm”
(*)
Dấu “=” xảy ra khi a = 0.
Lớp 8 học sinh đã được làm quen với hằng đẳng thức:
(A - B)2 = A2 – 2AB + B2
Nếu sử dụng tính chất (*) thì


Việc khai thác và sử dụng sáng tạo bất đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện tư duy và hình thành phương pháp chứng minh cũng như cách thức để hình thành bất đẳng thức mới từ bất đẳng thức đã biết.
Từ bất đẳng thức (I):

(a – b)2 ≥ 0 ( a2 + b2 ≥ 2ab (

ở cả 3 BĐT (I), (II), (III) dấu “=” xảy ra khi a = b.
B. Khai thác tính chất luỹ thừa bậc hai.
I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a – b)2 ≥ 0
Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (I) trở thành: (ay – bx )2 ≥ 0 (a, b, x, y
Dấu “=” xảy ra khi ay = bx (
Khai triển và biến đổi: a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ 0
( a2y2 + b2x2 ≥ 2axby
( a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby + b2y2
( (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Như vậy ta có bài toán:
1.Bài toán 1:
Chứng minh rằng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số a, b, và x, y)
Để khắc sâu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ chứng minh bài toán bằng nhiều cách
- Phương pháp 1: định nghĩa : A > B ( A – B > 0.
+ Lập hiệu A – B.
+ Chứng tỏ A – B > 0.
+ Kết luận A > B.
+ Cách 1 : Xét hiệu : (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2
= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby
= a2y2 - 2axby + b2x2
= (ay - bx)2 ≥ 0 luôn đúng ( a, b, x, y.
Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Dấu “=” xảy ra khi
- Phương pháp 2 : Phép biến đổi tương đương.
+ Biến đổi A > B ( A1 > B1 ( A2 > B2 ( …( (*)
+ Vậy A > B.
+ Cách 2 : Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
( a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2ãby + b2y2
( a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ 0
( (ay – bx)2 ≥ 0 luôn đúng ( a, b, x, y.
Dấu “=” xảy ra khi
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng.
Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Phương pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức đã biết
+ Cách 3 : Ta có (ay - bx)2 ≥ 0
( a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ 0
( a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2ãby + b2y2(cộng 2 vế a2x2, b2y2).
( (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Phương pháp 4 : Phương pháp phản chứng.
+ Giả sử có điều trái với kết luận.
+ Suy ra điều