Trường tHCS Hồng Hưng
đề thi học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1: ( 2 điểm )
1. So sánh : và
2. Cho biểu thức . Chứng minh rằng
Câu 2: ( 1 điểm )
Rút gọn biểu thức

Câu 3: ( 2 điểm )
1. Giải phương trình sau
2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn
Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
1. Chứng minh :
2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn và Chứng minh rằng:
 Trường THCS Hồng Hưng Đáp án và biểu điểm
đề thi chọn học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9


Câu
ý
Nội dung
Điểm

Câu 1 2,5 đ



1
1,0đ
Ta có:

Vậy >


0,5

0,25

0,25


2
1,5đ





0,5

0,5
0,5

Câu 2
1,0đ

Rút gọn biểu thức









0.25

0.25


0.25

0.25


Câu 3
2,5đ
1
1,0đ
ĐK

0,25

0,5


0,25



2
1,5đ
ĐK :
Bình phương hai vế ta được

Do x, y nguyên và y dương nên ta có:




0,5

0,25
0,25


0,25
0,25

Câu 4
3,0đ

















1
1,0đ
Ta có

Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: và AB = AD
Từ (1) và (2)
0,25


0,5


0,25


2
1,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN Do CM + CN =7 và CM - CN = 1 CM = 4; CN = 3 MN = 5
Ta có
mà
Ta lại có : và
DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6

0,25


0,5



0,25


3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật

nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD.
0,25
0,5

0,25

Câu 5
1,0đ

Vì vai trò của a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử : Khi đó vì và nên ta có
.
Mặt khác
Ta xét hai trường hợp của b:
Nếu Khi đó

Nếu Khi đó
Vậy